Polinômios
hoje vamos revisar essa matéria , pois tem muitos alunos que estão com dificuldades .
Recapitulando ...
Um pouco de história
O filósofo grego Platão diferenciava a matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, da matemática abstrata, destinada a elite. Um representante dessa elite foi Alexandre da Macedônia, também conhecido por Alexandre o Grande, que teve como seu preceptor Aristóteles. Mas foi no século III a.C. que surgiu o matemático Arquimedes de Siracusa, esse talvez tenha sido o primeiro a desenvolver com competência as duas matemáticas da qual estamos nos referindo.
Ocorrência de polinômios
Perímetros de figuras planas
Cálculo de distâncias
Cálculo de áreas
- Todo monômio é considerado polinômio;
- Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
- 5x2 → é um polinômio de um único termo (monômio);
- 2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.
Redução de Polinômios
Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.
Observações:
De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:
- monômio, quando há apenas um termo;
- binômio, quando há dois termos;
- trinômio, quando há três termos;
- acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.
Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.
- 8m3n + m4n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação à n.
- x8y5 + x10y2 → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em relação à y.
Polinômio com uma só variável
A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.
2x – 7 x2 + x + 3
7x3 + 2x + 3 x2 + 3
- 7x3 + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x3 + 0x2 + 2x + 3;
- x2 + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x2 + 0x + 3.
Adição de polinômios
A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:
Multiplicação de um monômio por um polinômio
Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:
Multiplicação de um polinômio por outro polinômio
Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.
Divisão de um polinômio por um monômio
O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.
(10x4y6 + x3y4 + x2y2) : (x2y)
10x4y6 : x2y = 10x2y5; x3y4 : x2y = xy3 e x2y2 : x2y = y
Ou seja,
(10x4y6 + x3y4 + x2y2) : (x2y) = 10x2y5 + xy3 + y.
Divisão de um polinômio por outro polinômio
A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.
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